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株式会社 ユニタックス

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125 大学・短大・高専・専門学校・高等学校で就職対策試験を実施

ＳＰＩ模擬試験、
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その他合わせて125校

なお、各企業の就職筆記試験でもご活用いただいております。

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サンプル問題

問題1

6人の生徒に対して数学の試験を実施したところ、次のような結果になった。なお、合格点があらかじめ設定されており、合格点以上の得点をとった者を合格とする。

  • 最高点は90点だった
  • 最低点は40点だった
  • 6人の平均点は55点だった
  • 合格者の平均点は60点だった

このとき、合格者は何人か。

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問題2

の値を11で割ったときの余りを求めよ。

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問題3

最初に掲げられている文の内容から、つづく文の空欄にあてはまる最も適切なものを、選択肢A ~Eから 1 つ選びなさい。

私の友人はロゴマークを作りたい店に、絵を描ける弟を紹介した。

店に紹介された人物は　　　　　である

  • A　私
  • B　友人
  • C　友人の弟
  • D　私の弟
  • E　店長

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問題4

最初に掲げられている文の中で、下線部の語が指しているものとして最も適切なものを、選択肢A〜Dの中から一つ選びなさい。

シーボルトの研究書『日本植物誌』の基になった植物図は、日本に写真技術が伝わる以前の江戸末期に、日本の絵師たちに描かせたものであり、それは後にロシアで広く知られるようになった。

  • Ａ『日本植物誌』
  • Ｂ 植物図
  • Ｃ 写真技術
  • Ｄ 日本の絵師

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サンプル問題　1　解説

まず，6人の平均点が55点であることから，6人の合計点は55×6＝330(点)である。
以下，合格者の人数をそれぞれ仮定し，条件と照らし合わせて検討する。

○合格者が1人のとき
合格者は最高点80点の1人だけである。
このとき合格者の平均点は80点となり，60点とならないため，条件に反する。

○合格者が2人のとき
合格者の平均点が60点であることから，合格者の合計点は60×2＝120(点)である。
ここで，最高点80点の1人を除くと，残りの合格者1人の得点は40点となる。
このとき，不合格者4人の合計点は210点であるが，4人全員が40点以下とすると
合計点は160点以下となるため，少なくとも1人は40点を超えていなければならない。
よって条件に反する。

○合格者が3人のとき
合格者の平均点が60点であることから，合格者の合計点は60×3＝180(点)である。
ここで，最高点80点の1人を除くと，残りの合格者2人の合計点は100点となる。
この2人のうち少なくとも1人は50点以下である。
一方，6人の合計点が330点であることから，不合格者3人の合計点は150点である。
ここで，最低点40点の1人を除くと，残りの不合格者2人の合計点は110点となる。
この2人のうち少なくとも1人は55点以上である。
よって条件に反する。

○合格者が4人のとき
合格者の平均点が60点であることから，合格者の合計点は60×4＝240(点)である。
このとき不合格者2人の合計点は90点であり，最低点40点の1人を除くと，
残りの不合格者1人の得点は50点となる。
また，合格者のうち最高点80点の1人を除く残り3人の合計点は160点である。
この3人について，たとえば得点を54点，53点，53点，合格点を51点とすると，
条件をすべて満たす。

○合格者が5人のとき
合格者の合計点は，最低点40点の1人を除いた290点である。
このとき合格者の平均点は58点となり，60点とならないため，条件に反する。

○合格者が6人のとき
6人の平均点は55点であり，合格者の平均点が60点とならないため，条件に反する。
以上より，条件をすべて満たすのは，合格者が4人のときに限られる。

答　4人

サンプル問題　1　解説

まず，次の命題Pを数学的帰納法によって証明する。

P：「自然数nについて，n11を11で割った余りは，nを11で割った余りに等しい。」

n＝1のとき，n11＝1であるから，命題Pは自明。

n＝kのときに命題Pが成立すると仮定すると，

整数mを用いて k11＝11m＋k と表すことができる。

さて，n＝k＋1については，2項定理により

(k＋1)11＝k11＋11C1 k10＋11C2 k9＋・・・＋11C10 k＋1 となるが，

11が素数であるため11C1, 11C2, …, 11C10がすべて11の倍数となることから，

ある自然数aを用いて (k＋1)11＝k11＋11a＋1 とまとめることができる。

よって，(k＋1)11＝11m＋k＋11a＋1＝11(m＋a)＋k＋1

すなわちn＝k＋1でも命題Pが成り立つ。

したがって，すべての自然数nについて命題Pが成り立つ。

 

つぎに，11以下の自然数nについて，n10を11で割った余りについて考える。

n＝1のとき，n10＝1より，n10を11で割った余りは1

n＝2, 3, …, 10のとき，

命題Pより，自然数mを用いて n11＝11m＋n と表すと，

両辺をnで割って　

　　　　　　 　

この左辺は明らかに自然数であるため，右辺も自然数となるが，

n＝2, 3, …, 10のときnと11は互いに素であるため，

mはnの倍数でなければならない。

つまり自然数bを用いて m＝bn と表すことができて，

n10＝11b＋1 となる。

よって，n10を11で割った余りは1

n＝11のとき，n10は11の倍数なので，n10を11で割った余りは0

 

さて，求める値は，n＝1, 2, …, 11のときの余りの総和を11で割った余りに等しく，

n＝1, 2, …, 10のとき余りが1，n＝11のとき余りが0となることから，

求める値は10である。

答　10人

サンプル問題　3　解説

店に紹介された人物は友人の弟である。文の構成を入れ替えると、店に私の友人が絵を描ける弟を紹介した、となる。

答　C

サンプル問題　4　解説

『日本植物誌』の基になった植物図は後にロシアで広く知られるようになった。『日本植物誌』と読み誤りやすいが、主語をきちんと捉えれば正答が「植物図」ということが分かる。

答　B