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125 大学・短大・高専・専門学校・高等学校で就職対策試験を実施

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なお、各企業の就職筆記試験でもご活用いただいております。

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サンプル問題

問題1

6人の生徒に対して数学の試験を実施したところ、次のような結果になった。なお、合格点があらかじめ設定されており、合格点以上の得点をとった者を合格とする。

  • 最高点は90点だった
  • 最低点は40点だった
  • 6人の平均点は55点だった
  • 合格者の平均点は60点だった

このとき、合格者は何人か。

問題2

の値を11で割ったときの余りを求めよ。

問題3

最初に掲げられている文の内容から、つづく文の空欄にあてはまる最も適切なものを、選択肢A ~Eから 1 つ選びなさい。

私の友人はロゴマークを作りたい店に、絵を描ける弟を紹介した。

店に紹介された人物は     である

  • A 私
  • B 友人
  • C 友人の弟
  • D 私の弟
  • E 店長

問題4

最初に掲げられている文の中で、下線部の語が指しているものとして最も適切なものを、選択肢A〜Dの中から一つ選びなさい。

シーボルトの研究書『日本植物誌』の基になった植物図は、日本に写真技術が伝わる以前の江戸末期に、日本の絵師たちに描かせたものであり、それは後にロシアで広く知られるようになった。

  • A『日本植物誌』
  • B 植物図
  • C 写真技術
  • D 日本の絵師

サンプル問題 1 解説

まず,6人の平均点が55点であることから,6人の合計点は55×6=330(点)である。
以下,合格者の人数をそれぞれ仮定し,条件と照らし合わせて検討する。

○合格者が1人のとき
合格者は最高点80点の1人だけである。
このとき合格者の平均点は80点となり,60点とならないため,条件に反する。

○合格者が2人のとき
合格者の平均点が60点であることから,合格者の合計点は60×2=120(点)である。
ここで,最高点80点の1人を除くと,残りの合格者1人の得点は40点となる。
このとき,不合格者4人の合計点は210点であるが,4人全員が40点以下とすると
合計点は160点以下となるため,少なくとも1人は40点を超えていなければならない。
よって条件に反する。

○合格者が3人のとき
合格者の平均点が60点であることから,合格者の合計点は60×3=180(点)である。
ここで,最高点80点の1人を除くと,残りの合格者2人の合計点は100点となる。
この2人のうち少なくとも1人は50点以下である。
一方,6人の合計点が330点であることから,不合格者3人の合計点は150点である。
ここで,最低点40点の1人を除くと,残りの不合格者2人の合計点は110点となる。
この2人のうち少なくとも1人は55点以上である。
よって条件に反する。

○合格者が4人のとき
合格者の平均点が60点であることから,合格者の合計点は60×4=240(点)である。
このとき不合格者2人の合計点は90点であり,最低点40点の1人を除くと,
残りの不合格者1人の得点は50点となる。
また,合格者のうち最高点80点の1人を除く残り3人の合計点は160点である。
この3人について,たとえば得点を54点,53点,53点,合格点を51点とすると,
条件をすべて満たす。

○合格者が5人のとき
合格者の合計点は,最低点40点の1人を除いた290点である。
このとき合格者の平均点は58点となり,60点とならないため,条件に反する。

○合格者が6人のとき
6人の平均点は55点であり,合格者の平均点が60点とならないため,条件に反する。
以上より,条件をすべて満たすのは,合格者が4人のときに限られる。

答 4人

サンプル問題 1 解説

まず,次の命題Pを数学的帰納法によって証明する。

P自然数nについてn1111で割った余りはn11で割った余りに等しい。」

n1のとn111であるから命題Pは自明。

nkのとき命題Pが成立すると仮定すると

整数mを用いて k1111mk 表すことができる

さてnk1については2項定理により

(k1)11k1111C1 k1011C2 k9+・・・+11C10 k1 なる

11が素数であるため11C1, 11C2, , 11C10すべて11の倍数となることから

ある自然aを用いて (k1)11k1111a1 とまとめることができる。

よって(k1)1111mk11a111(ma)k1

すなわちnk1でも命題Pが成り立つ。

したがってすべての自然数nについて命題Pが成り立つ。

 

つぎに11以下の自然数nについて,n1011で割った余りについて考える。

n1のときn101より,n1011で割った余りは1

n2, 3, , 10のとき

命題Pより,自然数mを用いて n1111mn 表すと

両辺をnで割って 

        

この左辺は明らかに自然数であるため,右も自然数となるが

n2, 3, , 10のときn11は互いに素であるため

mnの倍数でなければならない。

つまり自然数bを用いて mbn と表すことができて

n1011b1 となる。

よって,n1011で割った余りは1

n11のとき,n1011の倍数なので,n1011で割った余りは0

 

さて,求める値はn1, 2, , 11のときの余りの総和11で割った余りに等しく,

n1, 2, , 10のとき余りが1n11のとき余りが0となることから

求める値は10である。

答 10人

サンプル問題 3 解説

店に紹介された人物は友人の弟である。文の構成を入れ替えると、店に私の友人が絵を描ける弟を紹介した、となる。

答 C

サンプル問題 4 解説

『日本植物誌』の基になった植物図は後にロシアで広く知られるようになった。『日本植物誌』と読み誤りやすいが、主語をきちんと捉えれば正答が「植物図」ということが分かる。

答 B